확률의 시작 ... 확률의 종류와 계산하는 방법

 

Probability 확률

동일한 상태에서 동일한 시행을 무한 번 반복할 때 전체 시행 중 특정 사건이 발생할 비율

 

확률을 정의하기 위해서는 확률적 실험(통계적 실험)이 필요하다

전체 가능한 모든 결과, 반복가능한 경우.

 

상대도수적 확률

같은 조건하에 통계적 실험을 수없이 많이 반복시행 했을 때 사건 A가 발생하는 비율

n번 중 사건 A가 a번 발생 시 사건 A가 일어날 확률 -> P(A) = a/n

 

기하학적 확률

공간의 전체 길이, 면적 : S

P(A) = A의 면적 , 길이 / S의 면적, 길이

 

주관적 확률과 객관적 확률

머피의 법칙 발생 원인 : 주관적 확률과 객관적 확률의 차이 때문

 

집합

서로 명확하게 구별된 원자들을 정의하여 전체로 묶은 것

집합은 원소나열법과 조건제시법으로 표현

 

부분집합

집합 B에 속한 집합 A를 부분 집합이라고 함

 

전체집합

가장 커다란 집합

표본공간

 

공집합

원소가 하나도 없는 집합

 

합집합

두 집합 중 적어도 한쪽에 속하고 있는 원소들 전체의 집합

 

공통집합

두 집합 양쪽 모두에 속해 있는 원소들의 집합

 

여집합

 

차집합

 

 

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표본공간

통계적 실험(주사위 던지기, 카드 게임)의 모든 가능한 결과 집합

(1,2,3,4, .. , A 스페이스 나올 확률 ...)

통계적 실험, 조사로 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 모임

 

사건

표본공간의 일부-부분집합

(2가 나온 경우 ... )

일어날 수 있는 가능한 결과 중 특성 성질을 갖는 결과의 모임

 

고전적 확률

표본 공간 내 모든 원소의 발생 가능성이 같은 경우

 

표본공간 : S = {e1,e2, ..., en}

사건 : A = {e1,...ek}

확률P(A) = 사상 A 원소의 개수 / 표본 S 원소의 개수 = k/n

 

피자 배달의 예

표본공간 : S = {t : t>0}

사건 (배달시간 20분 이내) : A = {t : 0<t<20}

 

1. 이산형 표본공간의 경우

P(A) = 사건 A에 속하는 원소의 개수 / 표본공간의 전체 원소의 개수

2. 연속형 표본공간의 경우

P(A) = 사건 A에 속하는 원소에 대한 측도 / 표본공간의 전체 원소에 대한 측도

 

순열과 조합

이산형 표본공간 확률 계산시 원소의 수를 세는 방법

순열 permutation

- n개 중 r개 선택, 순서 고려하여 나열하는 방법의 수 

- nPr = n x (n-1) x ... x (n-r+1) = n! / (n-r)!

- nPn = n(n-1)(n02) ... 1 = n!

 

조합 combination

- n개 중 r개 선택, 순서 고려하지 않고 추출하는 방법의 수

- (n )

   (r  )  = nPr / r! = n! / r! (n-r)!

 

 

경우의 수

고전적 확률 계산 시 사건의 원소 개수를 세는 것이 중요하다

표본공간에서 사건은 복원 추출/ 비복원 추출 한다

 

복원 추출

n개 중 r개를 복원 추출한다(중복을 허용한다)

nTTr=n^r개를 추출한다

 

비복원 추출

순서 고려하는 경우 : nPr = n! / (n-r)! 개 추출한다

순서를 고려하지 않는 경우 : nCr = n! / r! (n-r)! = nPr / r!

 

공리적 확률

조건 3가지

1. 0 <= P(A) <= 1

2. P(S) = 1

3. 배반 사건 = 공집합이 없는 경우. P(AUB) = P(A) + P(B)
   겹치지 않는 사건. 시험의 합 불합격 둘 다 나올 수 없다는 것.

 

확률의 계산

여사건의 확률

P(Ac) = 1-P(A)

 

구입제품 중 불량품이 전혀 없을 확률은?

- 비복원 추출, 순서 상관 없음

9! / 2! (7)! = 36

7C2 * 2C0 (정상제품 7개 중 2개 뽑을 확률) * (불량품 2개 중 0개 뽑을 확률) = 21

P(A) = 21/36 

 

불량품이 적어도 한 개 있을 확률 = 전체 - 모두 정상일 확률

 

5명의 사람 중 적어도 두 사람의 생일이 같을 확률 = 365 *364* 363 * 362 * 361 / 365^5

 

확률의 덧셈 정리

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A^B)

 

주사위를 던질 때 짝수의 눈이 나오거나 3의 배수가 나올 확률?

S = {1, 2, .. 6}

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

AUB = {2,3,4,6}

COUNT(AUB) / COUNT(S) = 4 / 6