시계열의 주파수 분석과 확률과정에 대해서

시계열의 주파수 분석

시계열 정보 (시간 영역 정보, 주파수 영역 정보)

푸리에 변환 : 시간 도메인을 주파수 도메인으로 변환

복잡한 함수를 sine, cosine 함수로 특성을 살펴볼 수 있다(시계열에서 어떤 변동이 우세한지).

 

시계열이 특정 주기로 순환 

저주파 low frequency 변동 : 주파수는 작고 주기가 길다. 추세변동

고주파 high frequency 변동 : 주파수는 크고 주기가 짧다. 

 

시계열 y_t = 주기적 함수 g(t) + 백색잡은계열 e_t

 

FFT(Fast Fourier Transform) : 이산 퓨리에 변환(DFT)를 빠르게 계산

- DFT : O(N^2)

- FFT : O(N logN)

 

주기도 periodogram : x축-주파수 w_j , y축-회귀자승합

시계열에 숨겨진 파동들을 찾는다

 

원래 우세한 주기가 있는게 아니라 막 섞여있다. 지그재그로 나오게 됨. 

어떤 변동이 더 우세한지 판단하기가 힘들다.

주기도 평활화 : 스펙트럴 밀도함수로 이를 해결하고자 한다.

 

만약 원계열과 계절주파수 차이가 크다면 계절변동의 영향이 컸다고 해석할 수 있다. 1년 주기의 변동이 뚜렷하다고 해석된다. 

그래프를 통해 추세변동 .... 변동요인 중 어떤 것의 영향이 큰지 확인할 수 있다.

 

원계열 차분 -> 계절 변동이 제거되지 않음 -> 톱니형태 유지 -> 추세변동이 사라짐(1차 차분에 의해서)

4차 차분 -> 추세변동, 계절변동을 볼 수 없음

 

1차 차분 : 추세변동이 사라짐

4차 차분 : 추세변동, 계절변동 사라짐

 

시계열과 확률과정

우리가 관측한 시계열이 어떤 시계열 모형에서 생성되었을까?

이론적 모형, 확률과정에서 생성된 어떠한 시계열 모형에 대하여...

관측값은 어떠한 분포에서 관측된 것 하나이고 

확률과정은 순서가 있는 확률변수의 집합이고 일정한 분포를 가진 분포의 모임이다.

확률과정

시간에 따른 확률변수 들의 집합

 

시계열의 특성 : 시간에 따른 종속성 (서로 연관이 있다) , 의존성 = 시간영역의 핵심 정보

과거 ,미래, 현재를 연결하는 핵심적인 정보 . 

시계열의 패턴을 만들고 (종속성 덕에) -> 시계열을 연장하여 미래를 예측할 수 있겠다

 

전통적 통계분석에서 확률변수는 독립성을 지닌다고 한다.  -> 시계열의 종속성이 있는 점과 다르다.

전통적 통계분석에서는 대수의 법칙, 중심극한정리 - 확률변수가 독립적이라는 가정하에 성립되는 것 -> 시계열이 종속성을 가지고 있는 경우 성립하기 힘들다.

이러한 내용은 여태 해온 통계분석을 사용하기에는 제약이 있다.

 

그렇다면 아예 전통적 통계분석을 종속성을 가진 시계열에서는 못쓰는가? 

에르고딕 ergodic 시계열

시간에 따른 의존성이 낮은 경우의 시계열은 표본의 수가 충분하다면 전통적 통계분석이 가능하다. 

대수의 법칙, 중심극한정리가 성립한다.

 

R 실습

gdp = read_excel("/Users/University/fore/data/데이터.xlsx", sheet="GDP")
 gdp_ts = ts(gdp[,2:3]/1000, start=1960, frequency=4)  ### 1960년대 부터 4분기로 나눠서 
 dlgdp_1 = diff(log(gdp_ts[,2]))
 dlgdp_4 = diff(log(gdp_ts[,2]), 4)
 dlgdp = cbind(dlgdp_1, dlgdp_4)
 spectrum(na.omit(dlgdp), spans=c(3,3), col=c("red", "steelblue"), 
           main="", lty=c(20,1), lwd=1.5)
 legend("topright", col=c("steelblue", "red"), lty=c(1,20), lwd=1.5, 
         c("1차 차분", "4차 차분"), bty = "n")